پیدایش مربع لاتین

احتمالاً «اویلر» نخستین ریاضی دانی بود که مربع های لاتین را کشف کرد . او در سال 1779 میلادی سعی کرد مسئله معروف «36 افسر» [ر.ک 7] را حل کند :

«36 افسر با 6 درجه مختلف و از 6 گردان متفاوت وجود دارند ؛ از هر گردان 6 افسر با درجه های متمایز ؛ آیا ممکن است که آنها را در یک صف بندی 6×6 طوری بچینیم که در هر سطر و هر ستون ، تنها یک افسر از هر درجه و یک افسر از هر گردان وجود داشته باشد ؟»

در اصطلاح ریاضی این مسئله می خواهد روشن کند که آیا دو مربع لاتین متعامد از مرتبه 6 وجود دارد ؟ اویلر حدس می زد که دو مربع این گونه وجود ندارد . در حقیقت حدس او به شکل کلی اینگونه بود که هیچ جفت مربع لاتین متعامد از مرتبه هایی به شکل 4n+2 وجود ندارد .

در سال 1900 میلادی توسط "جی . تری" [ر.ک13] نشان داده شد که حالت اولیه حدس اویلر برای n=1 ، یعنی همان حالت پیش آمده در مساله 36 افسر، صحیح می باشد ؛ این یعنی هیچ دو مربع لاتین متعامدی با مرتبه 6 وجود ندارد. اما در سال 1959 میلادی ثابت شد که حدس او برای مرتبه های بزرگتر از 6 صحیح نیست، که غلط بودن آن توسط "بوس" ، "شریک هند" و "پارکر" نشان داده شد .[ر.ک2]

جالب است بدانید دو مربعی که ما آنها را دو مربع لاتین دو به دو متعامد می نامیم ، در تاریخ با نام مربع های لاتین-یونانی ثبت شده است ؛(به خاطر ترکیب کاراکترهای یونانی و لاتینی در این روش برای ساختن مربع های جادویی توسط اویلر که اکنون به آن می پردازیم .)و همچنین در گذشته آنرا با نام مربع اویلر یاد میکردند . مثالی از دو مربع لاتین 3×3 که دو به دو متعامدند توسط اویلر پیدا شد که در شکل 2 آمده است . [ر.ک8]

توجه داشته باشید که شکل 2 از سمت چپ ابتدا دو مربع لاتین دو به دو متعامد را نشان می دهد و سپس ترکیبشان را که یک مربع لاتین – یونانی است نشان می دهد .

دنباله پژوهش اویلر در مورد مربع های لاتین حاکی از کاری است که سابقاً در این زمینه در هر دو شاخه ریاضیات کاربردی و محض انجام شده است . اگر چه بخش اعظم این پژوهش فراتر از موضوع این مقاله است که تنها کاربرد مربع لاتین را در ریاضیات کاربردی و محض در مرحله مقدماتی بررسی کرده است . پژوهشی تخصصی و مبسوط از مربع های لاتین توسط «دنیس» و «کیدویل» در یک مقاله [ر.ک5] ارائه شده است که نتایج مهمتر و پیشرفته تری در اختیار می گذارد .

مربع های لاتین ، شبیه مربع های جادویی معروف هستند همان مربع هایی که آرایه ها در خانه ها طوری قرار می گیرند که مجموع اعداد داخل خانه ها در هر سطر و هر ستون و قطر مرکزی یکسان باشد . در حقیقت اویلر برای ساختن مربع های جادویی با مرتبه دلخواه روشی را ارائه می دهد [ر.ک8] . به این صورت که از یک مربع لاتین n×n استفاده شده که توسط n حروف نخستین حروف لاتین {…,c,b,a} پر شده است .و نیز از یک مربع لاتین n×n که توسط n حرف نخستین حروف یونانی {….,b,a} پر شده است .

حروف لاتین به ترتیب با {0و1و2و3و...} و حروف یونانی به ترتیب با {1و2و3و4و....} نمادگذاری شده اند . با همه حروف لاتین جفت به جفت و مجزا و با همه حروف یونانی جفت به جفت و مجزا . دو مربع به گونه ای روی هم می افتند که محتوای هیچ دو خانه ای تکراری نیست . به عبارت دیگر آنها مربع های لاتین دو به دو متعامد هستند که هر مربع به صورت an+α نمادگذاری می شود و در آن a حرف لاتین روی این مربع و α حرف یونانی روی این مربع می باشد.[ر.ک9]

 

مطالعه مربع های جادویی به خودی خود بسیار قدیمی است و شکل 3 که با نام «لوشو» شناخته شده به نظر می آید 2100 سال قبل در چین بررسی شده است مربوط به «آر.کوک» [ر.ک4]

شکل 2 : دو مربع لاتین دو به دو متعامد و ترکیبشان در سمت راست .

اولین مثالهای یافت شده توسط اویلر

 

 

شکل 3 : مربع جادویی چینی ، حدود 2100 سال قبل از میلاد مسیح

 

4       9       2

3       5       7

8       1       6

 

سودوکو و پیدایش آن:

"سودوکو" واژه ای ژاپنی به معنای عددهای بی تکرار است و به جدول اعدادی گفته میشود که امروزه یکی از سرگرمیهای رایج در کشورهای گوناگون جهان به شمار می آید.

احتمال میرود نخستین جدول سودوکو را خود اویلر در حاشیه پژوهش پیرامون مساله 36 افسر، در قرن هجدهم طراحی کرده باشد. سودوکو انواع گوناگون ساده، متوسط، دشوار و خیلی دشوار دارد.کتابهای متنوعی برای آموزش طراحی و حل این جدول منتشر شده است. این جدول هم اکنون در بسیاری از روزنامه های معتبر دنیا هرروزه به چاپ می رسد. این بازی که در نمایشگاه بین المللی بازی و سرگرمی آلمان، به عنوان محبوب ترین و پر طرفدارترین بازی شناخته شده است ، قوانین بسیار ساده و روشنی دارد:

اساس این بازی از مربع های لاتین الهام گرفته شده است و قوانین آن بسیار شبیه به قوانین مربع های لاتین می باشد. نوع متداول سودوکو مربعی با 9 سطر و 9 ستون است که خود این مربع در داخلش به 9 مربع کوچکتر که هرکدام 3 سطر و 3 ستون دارد تقسیم بندی شده است. شما باید اعداد 1 تا 9 را در هر یک از جدولهای کوچکتر بدون تکرار بنویسید و در عین حال هیچ عددی در سطر یا ستون جدول مربعی شکل 9 در 9 ، تکرار نشود؛ یعنی مربع بزرگتر باید خود یک مربع لاتین باشد و همزمان در مربع های 9 خانه ایِ کوچکتر، همه ارقام 1 تا 9 را، – طبیعتا بدون تکرار- داشته باشیم. همیشه به عنوان راهنمایی چند عدد از پیش در جدول مشخص شده اند تا شما بتوانید بقیه آن جدول را پر کنید.

 

مثالی از یک جدول متداول سودوکو

 

سودوکو واژه ای ژاپنی است اما ریشه انتشار این بازی را باید در آمریکای شمالی جست و جو کرد. نخستین نمونه های شناخته شده ی این بازی در سال 1979 در مجله ی "بازیهای حروف و معماهای با مداد دِل"به چاپ رسید. طراح این جدول ها ناشناس است، اما ویل شورتز دبیر جدول روزنامه نیویورک تایمز توانسته است در روندی منطقی (که البته بی شباهت به حل یک سودوکو نیست!)، حدس بزند که این ناشناس چه کسی است. شورتز فهرست همکاران شماره های گوناگون مجله دِل را بررسی کرد و توانست تنها یک نام مشترک را در شماره های حاوی سودوکو پیدا کند! نامی که در شماره های دیگر تکرار نشده بود: هوارد گارنز ، معماری اهل ایندیاناپلیس، متوفی به سال 1989. مسئولان فعلی در مجله معماهای دِل نیز این نتیجه گیری را رد نکردند؛ اما عنوان کردند که سندی مبنی بر طراحی جدولهای سودوکو توسط گارنز در آرشیو یافت نشده است.

ادامه داستان آسان تر است. مجله دل به چاپ این معماها ادامه داد و در سال 1984 ، مجله ژاپنی "نیکولی" جدولهایی با همان ساختار را به چاپ رساند. نیکولی این جدول ها را "سوجی و ادکوشین نی کاگیرو" نام نهاد که برگردان آن به فارسی چیزی جز "اعداد باید یکتا باشند" نیست. خیلی زود مردم این اسم طولانی را خلاصه کردند و آن را سودوکو نام نهادند؛ یعنی اعداد یکتا. نشریه نیکولی این نام را به ثبت رساند و جدول هم به این نام مشهور شد. جالب این جاست که هنوز بسیاری از ژاپنی ها این جدول را با نام انگلیسی آن می شناسند: نامبر پلیس یعنی جاگذاری اعداد. در حالی که خود انگلیسی ها واژه ژاپنی سودوکو را ترجیح می دهند.

پس از ورود این جدول به ژاپن، هنوز این بازی در جهان فراگیر نشده بود. اتفاق مهم بعدی در نیمکره جنوبی زمین روی داد. واین گولد، شهروند نیوزلندی که پیش از تغییر حاکمیت هنگ کنگ در این منطقه به قضاوت مشغول بود، در سفری به ژاپن با سودوکو آشنا شد و برنامه ای رایانه ای برای طراحی این جدولها نوشت. او مسئولان روزنامه تایمز لندن را به چاپ این جدولها تشویق کرد و در نهایت توانست اولین جدولش را در نوامبر 2004 به چاپ برساند. تاثیر این جدول ها در انگلستان بسیار سریع و شدید بود! دیگر روزنامه های لندن نیز به صف چاپ کنندگان سودوکو پیوستند و خیلی زود رقابتی شدید آغاز شد؛ به طوری که روزنامه دیلی تلگراف، سودوکو را در صفحه اول خود به چاپ رسانید. همه تلاش کردند سودوکو های بهتری را طراحی کنند.

برنامه های رایانه ای بسیاری برای حل سودوکو نوشته شدند و کار به جایی رسید که در جولای 2005 ، تورنومنت سودوکو برگزار شد و رسانه های تصویری انگلستان آن را به شکل گسترده ای تحت پوشش قرار دادند.

کم کم به علت مشهور شدن این بازی در انگلیس، در بهار سال2005 سودوکو در آمریکا بسیار فراگیر شد و مردم هم از این معمای نسبتاً جدید استقبال کردند. شدت استقبال به حدی بود که تولید محصولات خانگی کاهش یافت! مردم به جای کار به حل سودوکو روی آورده بودند. [ر.ک15]

در همان سال این جدولها وارد کشورمان ایران شد. اولین روزنامه ای که شروع به چاپ آن کرد روزنامه همشهری بود. سپس روزنامه های دیگر نیز به چاپ این جدولها روی آوردند و بازار رقابت آن گرم تر شد. تا جایی که در هر دکه روزنامه فروشی میتوان کتابچه سودوکو یا روزنامه  ای حاوی سودوکو  را پیدا کرد.

منابع و ارجاعات :

 

[1] A. O. L. Atkin, L. Hay, and R. G. Larson, Enumeration and construction

of pandiagonal Latin squares of prime order, Comput. Math.      

Appl. 9 (1983), no. 2, 267–292. MR 85i:05048

 

[2] R. C. Bose, S. S. Shrikhande, and E. T. Parker, Further results on

the construction of mutually orthogonal Latin squares and the falsity

of Euler’s conjecture, Canad. J. Math. 12 (1960), 189–203. MR 23

#A69

 

[3] Peter J. Cameron, Combinatorics: topics, techniques, algorithms,

Cambridge University Press, Cambridge, 1994. MR 95j:05002

 

[4] Roger Cooke, The history of mathematics: a brief course, Wiley-

Interscience, 1997.

 

[5] J. D´enes and A. D. Keedwell, Latin squares and their applications,

Academic Press, New York, 1974. MR 50 #4338

 

[6] Cengiz Erbas and Murat M. Tanik, Generating solutions to the Nqueens

problem using 2-circulants, Math. Mag. 68 (1995), no. 5, 343–

356. MR 96m:05050

 

[7] Leonhard Euler, Recerches sur une nouvelle esp`ece de quarr´es magiques,

Verhandelingen uitgegeven door het zeeuwsch Genootschap der

Wetenschappen te Vlissingen 9 (1782), 85–239.

 

[8] , De quadratis magicis, Opera omnia, vol. 7, series 1, Teubner,

Leipzig, 1911, pp. 441–457.

[9] , On magic squares, arXiv math.CO/0408230, October 2004,

Translated from the Latin by Jordan Bell.

 

[10] L. R. Ford, Jr. and D. R. Fulkerson, Flows in networks, Princeton

University Press, Princeton, N.J., 1962. MR MR0159700 (28 #2917)

 

[11] David A. Klarner, Queen squares, J. Recreational Math. 12

(1979/80), no. 3, 177–178. MR 81m:05035

 

[12] H. Steinhaus, Mathematical snapshots, third american ed., ch. 1,

pp. 31–33, Oxford University Press, Oxford, 1969.

 

[13] Gaston Tarry, Le probleme de 36 officiers, Comptes Rendus Assoc.

Franc. Avance. Sci. 2 (1901), 170–203.

[14] J.Bell Stevens, Morehead Electronic Journal of Applicable Mathematics, An introduction to SDR’s and Latin squares.

School of Mathematics and Statistics, Carleton University, Ottawa, Ontario, Canada.

[15] اکبری زاده، سیمین. مربع لاتین و کاربردهای آن، مجله رشدبرهان،دور شانزدهم، شماره 3، بهار 1386.

نظرات شما عزیزان: